已知抛物线方程为y2=2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

题目

已知抛物线方程为y²=2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

答案

设直线l的方程为y=kx+2（1分）
由

y2＝2x y＝kx+2

消去x得：ky²-2y+4=0（3分）
∵直线l与抛物线相交
∴

k≠0 △＝4−16k＞0

⇒k＜

1

4

 且 k≠0（5分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则y1y2＝

4

k

（6分）
从而x1x2＝

y 2 1

2

 • 

y 2 2

2

＝

4

k2

（8分）
∵OM⊥ON∴x₁x₂+y₁y₂=0（10分）
即 解得k=-1符合题意
∴直线l的方程为y=-x+2（12分）

将直线方程代入抛物线方程，利用OM⊥ON，转化为x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求k的值，进而可求直线l的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．