已知:f(x)=-sin2x+sinx+a (Ⅰ)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若x∈R恒有1≤f(x)≤17/4成立,求实数a的取值范围.
题目
已知:f(x)=-sin
2x+sinx+a
(Ⅰ)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若x∈R恒有
1≤f(x)≤成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)因为f(x)=0,即
a=sin2x−sinx=(sinx−)2−,a的最大值等于
(−1−)2 −=2,
a的最小值等于-
,所以,
a∈[−,2].
(2)f(x)=-sin
2x+sinx+a=
−(sinx−)2++a,∴
f(x)∈[−2+a,+a],
又∵
1≤f(x)≤恒成立,∴
,∴3≤a≤4.
所以,实数a的取值范围是[3,4].
(1) 利用二次函数的性质及正弦函数的值域求出a的最大值和a的最小值,即得实数a的取值范围.
(2)f(x)配方后结合正弦函数的值域,求出
f(x)∈[−2+a,+a],再根据
1≤f(x)≤恒成立,
得到
,从而得到实数a的取值范围.
三角函数的最值;函数恒成立问题;函数与方程的综合运用.
本题考查三角函数的最值,函数的恒成立问题,以及正弦函数的有界性,得到 是解题的难点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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