协方差 COV(X+a,Y+b)

题目

协方差 COV(X+a,Y+b)
我知道COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),COV(X+a,Y+b)=?a,b是常数.
请说明原因或简单论证

答案

COV(X+a,Y+b)=E[(X+a)(Y+b)]-E(X+a)E(Y+b)
=E(XY+bX+aY+ab)-(E(x)+a)(E(Y)+b)
=E(XY)+E(bX)+E(aY)+ab-[E(X)E(Y)+bE(x)+aE(Y)+ab]
=E(XY)+bE(x)+aE(Y)+ab-[E(X)E(Y)+bE(x)+aE(Y)+ab]
=E(XY)-E(X)E(Y)
则COV(X+a,Y+b)=COV(X,Y)