直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为?这个是怎么消去参数k的

题目

直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为?这个是怎么消去参数k的
由题知抛物线焦点为（1,0）
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理：
x1+x2=
2k2+4
k2
所以中点横坐标：x=
x1+x2
2
=
k2+2
k2
代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=
2
k
．即中点为（
k2+2
k2
,
2
k
）
消参数k,得其方程为
y2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是（1,0）,符合题意,
y2=2x-2

答案