已知双曲线的中心在原点.焦点f1.f2在座标轴上.离心率为根号2.且过点M(4,-根10)

题目

已知双曲线的中心在原点.焦点f1.f2在座标轴上.离心率为根号2.且过点M(4,-根10)
(1)求双曲线方程
(2)若点M(3.m)在双曲线上.求证MF1垂直于MF2
(3)求△F1MF2的面积

答案

由题意
（1）离心率e=c/a=√2则c=√2a
b^2=c^2-a^2=a^2
a=b,双曲线为等轴双曲线设方程x^2-y^2=λ
代点M(4,-√10)得λ=4
双曲线方程x^2/4-y^2/4=1
（2)F1(-2√2,0）,F2（2√2,0）
点M(3.m)在双曲线上,则9/4-m^2/4=15,
m^2=
向量MF1.向量MF2=(-2√2-3,-m).（2√2-3,-m)
=-5+5=0
所以MF1⊥于MF2
（3)求△F1MF2的面积,最简单做法用焦点三角形的面积公式
△F1MF2的面积=b^2cot(角F1MF2/2）
=4cot(90°/2）=4cot45°=4