求函数f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的最大值和最小值,并求出取最小值时x的值

题目

求函数f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的最大值和最小值,并求出取最小值时x的值
令cosx-sinx=t,则t∈[-√2,√2].cosx-sinx=t的两边同时平方,得到1-sin2x=t^2,所以sin2x=1-t^2.所以f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5=2t+3(1-t^2)+5=f(t)=-3t^2+2t+8=-3(t-1/3)^2+25/3 由于t∈[-√2,√2],所以当t=1/3时,f(t)取得最大值25/3,当t=-√2时.f(t)取得最小值2-2√2.
cosx-sinx=t,则t∈[-√2,√2].为什么啊

答案

辅助角公式
因为t=cosx-sinx=-(sinx-cosx)
=-√2sin(x-π/4)
所以t∈[-√2,√2]