设M是△ABC内一点，且AB•AC=23，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（P）=（12，x，y）则1x+4y的最小值（　　

题目

设M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（P）=（

1

2

，x，y）则

1

x

+

4

y

的最小值（　　）
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18

答案

∵AB•AC＝23，∠BAC=30°，∴cbcos30°=23，化为bc=4．∴S△ABC＝12bcsin30°=1．∴f（P）=12+x+y＝1，得x+y＝12．（x＞0，y＞0）．∴1x+4y＝2(x+y)(1x+4y)=2(5+yx+4xy)≥2(5+2yx•4xy)=18．当且仅当y＝2x＝13时取...

利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式，再利用基本不等式即可得出．

本题考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．

考点点评：熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键．