求经过两圆X^2+Y^2+6X-4=0和X^2+Y^+6Y-28=0的交点且圆心在直线X-Y-4=0上的圆的方程

题目

求经过两圆X^2+Y^2+6X-4=0和X^2+Y^+6Y-28=0的交点且圆心在直线X-Y-4=0上的圆的方程

答案

x^2+y^2+6x-4=0
x^2+Y2+6y-28=0
两式相减得到6x-6y+24=0 得到y=x+4
将y=x+4代入上面任意式子可求得两交点坐标为A(-1,3)B(-6,-2)
求得AB线的斜率为k=-
则线段AB的垂直平分线与直线x-y-4=0的交点为所求圆的圆心
AB垂直平分线的斜率为-1
AB线段的中点坐标为（-7/2,1/2）
所以可求得AB线段垂直平分线的直线方程为y=-x-3
将y=-x-3
x-y-4=0解方程组得所求圆心坐标为(1/2,-7/2)
圆的半径=√[（-7/2-3）^2+(1/2+1)^2]=√178/2
所以圆的方程为(x-1/2)^2+(y+7/2)^2=178/4