已知两个二次函数满足①当x=a(a>0)时,y1取得最大值5,此时y2=25;②y2的最小值-2;③y1+y2=x@+16x+13.
题目
已知两个二次函数满足①当x=a(a>0)时,y1取得最大值5,此时y2=25;②y2的最小值-2;③y1+y2=x@+16x+13.
答案
已知两个二次函数满足
①当x=a(a>0)时,y1取得最大值5,此时y2=25;
②y2的最小值-2;
③y1+y2=x^2+16x+13.
仅有已知条件,但是需要求什么呢?
由①,设y1=-b*(x-a)^2+5;
由②,设y2=c*(x-d)^2-2;
于是,y1+y2=-b*(x-a)^2+5+c*(x-d)^2-2,
即,x^2+16x+13=-b*(x-a)^2+5+c*(x-d)^2-2,
由二次项系数相等得:c-b=1,
即,c=b+1,x05x05x05x05(1)
由一次项系数相等得:16=2*a*b-2*c*d,x05(2)
由常数项相等得:13=-b*a^2+c*d^2+3x05(3)
由①,y2(a)=25,即,c*(a-d)^2-2=25x05(4)
联立以上四个方程(具体过程略,可先把c=b+1带入后面三个方程,再消去b),解得:
a = 1,b = 2,c = 3,d = -2,
或a = -17,b = 2,c = 3,d = -14.
因为a>0,所以,取第一组解.
于是y1、y2都得到了,具体想要求什么自己看着办吧.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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