若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a,b∈R）是偶函数,且它的值域为﹙-∞,4],则函数的解析式f（x）是

题目

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a,b∈R）是偶函数,且它的值域为﹙-∞,4],则函数的解析式f（x）是
加以证明

答案

由于f（x）的定义域为R,值域为（-∞,4],
可知b≠0,∴f（x）为二次函数,
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx²+（2a+ab）x+2a²．
∵f（x）为偶函数,
∴其对称轴为x=0,∴-(2a+ab)/(2b)=0,
∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2．
若a=0,则f（x）=bx²与值域是（-∞,4]矛盾,∴a≠0,
若b=-2,又其最大值为4,
∴(4b×2a²)/(4b)=4,∴2a²=4,
∴f（x）=-2x²+4．