设α，β∈（−π2，π2），tanα、tanβ是方程x2+33x+4＝0的两个根．求 α+β的值．

题目

设α，β∈（−

π

2

，

π

2

），tanα、tanβ是方程x2+3

3

x+4＝0的两个根．求 α+β的值．

答案

由已知有

tanα+tanβ=-3 3 tanα•tanβ=4

，…（2分）
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-3 3

1-4

=

3

，…（5分）
∵tanα•tanβ=4>0，tanα+tanβ=-3

3

<0
∴tanα<0，tanβ<0，…（6分）
又α，β∈（-

π

2

，

π

2

）∴α，β∈(-

π

2

，0)…（7分）
∴α+β∈（-π，0）…（8分）
在（-π，0 ）上只有-

2π

3

的正切值为

3

所以α+β=-

2π

3

．          …（10分）

根据根与系数的关系，得出

tanα+tanβ＝−3 3 tanα•tanβ＝4

，利用两角和的正切公式可以求出tan(α+β)＝

3

，确定出α+β的取值范围后，即可求出结果．

本题考点：根与系数的关系；两角和与差的正切函数．

考点点评：本题考查了根与系数的关系，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，以及整体思想．