已知空间中四个点A（1,1,1）,B（－4,0,2）C（－3,－1,0）D（－1,0,4）则直线AD与平面ABC的夹角是

题目

已知空间中四个点A（1,1,1）,B（－4,0,2）C（－3,－1,0）D（－1,0,4）则直线AD与平面ABC的夹角是

答案

因为 AB=(-5,-1,1) ,AC=(-4,-2,-1) ,
因此,平面ABC的法向量 n=AB×AC=(3,-9,6),|n|=√(9+81+36)=3√14 ,
又AD=(-2,-1,3),|AD|=√(4+1+9)=√14 ,
所以 cos=AD*n/(|n|*|AD|)=(-6+9+18)/(3*14)=1/2 ,
因此,=π/3 ,
则 AD与平面ABC的夹角是 π/2-π/3=π/6 .