银行利率问题

题目

银行利率问题
设银行年利率为r,按复利计算,想要在第一年末提取1元,第二年末提取22元,…,第n年末提取n2元,要能永远如此提取,问至少需要事先存入多少本金?
如果每年提取1元,至少需要事先存入多少本金?
第n年提取n元呢?

答案

设至少需要事先存入本金x元
要能永远如此提取,那么总利息应大于或等于总提取,即
rx+r(x-1)+r(x-1-22)+...+r[x-1-...-(n-1)2]≥1+22+32+...+n2
x≥[(n-1)×1+(n-2)×22+(n-3)×32+...+2×(n-1)2+1×n2]/r
x≥[(n-1)+11n×(n^2-4)/2-11×(2^2+3^3+..+n^n)]/r
所以设至少需要事先存入本金[(n-1)+11n(n^2-4)/2-11(2^2+3^3+..+n^n)]/r
如果那个n2是n的平方,而不是n×10+2的话
那么x≥{n(1+2^2+3^3+...+n^n)-[1+2^3+3^4+..n^(n+1)]}/r
至少需要事先存入本金{n(1+2^2+3^3+...+n^n)-[1+2^3+3^4+..n^(n+1)]}/r
第二问问题不明