已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0． （1）当m为何值时，曲线C表示圆； （2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

题目

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

答案

（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5；     （4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线x+2y-4=0与圆的方程x²+y²-2x-4y+m=0，
消去y，得：5x²-8x+4m-16=0，
由韦达定理得：x1+x2＝

8

5

①，x1•x2＝

4m−16

5

②，
又由x+2y-4=0得y＝

1

2

(4−x)，
由OM⊥ON得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+y1y2＝x1x2+

1

4

(4−x1)•(4−x2)＝

5

4

x1x2−(x1+x2)+4＝0，
将①、②代入上式得 m＝

8

5

，
检验知满足△＞0，故m＝

8

5

为所求． （13分）