已知曲线C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当m为何值时,曲线C表示圆; (2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

已知曲线C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当m为何值时,曲线C表示圆; (2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

题目
已知曲线C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)当m为何值时,曲线C表示圆;
(2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
答案
(1)由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,解得m<5;     (4分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立直线x+2y-4=0与圆的方程x2+y2-2x-4y+m=0,
消去y,得:5x2-8x+4m-16=0,
由韦达定理得:x1+x2
8
5
①,x1x2
4m−16
5
②,
又由x+2y-4=0得y=
1
2
(4−x)

由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0,
x1x2+y1y2x1x2+
1
4
(4−x1)•(4−x2)=
5
4
x1x2−(x1+x2)+4=0

将①、②代入上式得 m=
8
5

检验知满足△>0,故m=
8
5
为所求. (13分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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