在平面内一动点P到两定点A、B距离之积等于这两定点间距离的一半的平方,求P点轨迹的极坐标方程.

题目

在平面内一动点P到两定点A、B距离之积等于这两定点间距离的一半的平方,求P点轨迹的极坐标方程.

答案

不妨设A(-a,0), B(a,0), (a＞0)
P(x,y)
由题设可得：
√[(x+a)²+y²]×√[(x-a)²+y²]=a²
[(x²+y²+a²)+2ax]×[(x²+y²+a²)-2ax]=a^4
(x²+y²+2a²)(x²+y²)=4a²x²
(x²+y²)²=2a²x²-2a²y²
把
x=ρcosθ
y=ρsinθ
代人上式,可得
ρ²=2a²cos2θ