已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn=1/2(n+1)(an+1)−1 (Ⅰ)求证:数列{an}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
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已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn=1/2(n+1)(an+1)−1 (Ⅰ)求证:数列{an}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
题目
已知数列{a
n
}中,a
1
=3,前n项和
S
答案
(Ⅰ):证明:∵
S
n
=
1
2
(n+1)(
a
n
+1)−1
,∴
S
n+1
=
1
2
(n+2)(
a
n+1
+1)−1
∴
a
n+1
=
S
n+1
−
S
n
=
1
2
[(n+2)(
a
n+1
+1)−(n+1)(
a
n
+1)]
整理,得na
n+1
=(n+1)a
n
-1①
∴(n+1)a
n+2
=(n+2)a
n+1
-1②
②-①得:(n+1)a
n+2
-na
n+1
=(n+2)a
n+1
-(n+1)a
n
即(n+1)a
n+2
-2(n+1)a
n+1
+(n+1)a
n
=0∴a
n+2
-2a
n+1
+a
n
=0,
即a
n+2
-a
n+1
=a
n+1
-a
n
∴数列{a
n
}是等差数列
(II)∵a
1
=3,na
n+1
=(n+1)a
n
-1,
∴a
2
=2a
1
-1=5∴a
2
-a
1
=2,
即等差数列{a
n
}的公差为2,
∴a
n
=a
1
+2(n-1)=2n+1,(n∈N
*
)
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