过点P（2,1）的直线l,与x,y正半轴交于A,B.求OA+OB最小时,L的方程?求PA×PB最小时,L的方程?

题目

过点P（2,1）的直线l,与x,y正半轴交于A,B.求OA+OB最小时,L的方程?求PA×PB最小时,L的方程?

答案

直线与x、y轴均有交点
设y=k(x-2)+1,k＜0
则A（2-1/k,0）,B（0,1-2k）
则OA+OB=2-1/k+1-2k=3-1/k-2k
因为k＜0
所以k=-√2/2时有最小值
直线为y==-√2/2(x-2)+1=y=-√2x/2+√2+1
(PA*PB)^2=[(2-1/k-2)^2+1^2][2^2+(1-2k-1)^2]=8+4k^2+4/k^2
则k=-1时有最小值
直线为y==-(x-2)+1=-x+3