线性代数行列式证明

题目

线性代数行列式证明
证明
1+a1 1 1 ...1
1 1+a2 1 ...1
1 1 1+a3 ...1
.
1 1 1 ...1+an
=a1a2...an(1+1ai) (i从1到n ,1ai的和）

答案

经典老题.
我写一些步骤,一看就明白的.
（1）从第二行开始,各行都减去第一行
1+a1 1 1 ...1
-a1 a2 0 ...0
-a1 0 a3 ...0
.
-a1 0 0 ...an
（2）第二行除以a2,第三行除以a3...第n行除以an,因此外围提出一个(a2a3...an)
1+a1 1 1 ...1
-a1/a2 1 0 ...0
-a1/a3 0 1 ...0
.
-a1/an 0 0 ...1
*(a2a3...an)
（3）第一行减去下面各行
M 0 0 ...0
-a1/a2 1 0 ...0
-a1/a3 0 1 ...0
.
-a1/an 0 0 ...1
*（a2a3...an）
其中M位置上就是：(1+a1)+a1/a2+a1/a3+...+a1/an
（4）原式=M*（a2a3...an）
=a1a2...an(1+1ai) (i从1到n ,1ai的和）