已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时f(x)=x,若在区间[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是 _ .
题目
已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时f(x)=x,若在区间[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是 ___ .
答案
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cb8065380cd791239b99faf5ae345982b2b78031.jpg)
由已知可画出函数f(x)的图象,
先画出f(x)在x∈[0,1]上的图象,利用偶函数的性质画出
在x∈[-1,0]上的图象,再利用函数的周期性画出R上的图象,下面画出的是函数在x∈[-1,3]上的图象,如图:
又可知关于x的方程y=kx+k+1(k≠1)恒过点M(-1,1),
在上图中画出直线l
0,l
1,l
2,
显然当这些过定点M(-1,1)的直线位于l
0与l
2之间,
如L
1时,才能与函数f(x)有四个交点.
又因为直线l
0与l
2的斜率分别为k
0=0和k
2=-
,因此k的取值范围应为:-
<k<0,
故答案为 (-
,0).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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