利用高斯公式的方法计算积分∫∫ x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧

题目

利用高斯公式的方法计算积分∫∫ x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧

答案

补平面Σ1：z=0,x²+y²≤r²,上侧,这样Σ+Σ1为一个封闭曲面
由高斯公式：
∫∫(Σ+Σ1) x²y² dxdy
=∫∫∫ 0 dxdydz
=0
下面计算所补平面的积分
∫∫(Σ1) x²y² dxdy
=∫∫(D) x²y² dxdy 其中积分区域D为x²+y²≤r²,下面用极坐标
=∫∫ ρ^5cos²θsin²θ dρdθ
=∫[0→2π] cos²θsin²θdθ ∫[0→r] ρ^5dρ
=(1/4)∫[0→2π] sin²2θ dθ×(1/6)ρ^6 |[0→r]
=(1/24)r^6∫[0→2π] sin²2θ dθ
=(1/48)r^6∫[0→2π] (1-cos4θ) dθ
=(1/48)r^6[θ - (1/4)sin4θ] |[0→2π]
=(1/24)πr^6
最后两个积分相减得：
原式=0-(1/24)πr^6=-(1/24)πr^6
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