定积分计算 4π∫√(a^2-x^2+1)dx,上标a,下标0

题目

定积分计算 4π∫√(a^2-x^2+1)dx,上标a,下标0
球表面积,A=∫2π•√(a²-x²)•√[1+√(a²-x²)’²]有没错,上限为半经a,还是半圆

答案

这道题用定积分的几何意义可以求解,首先观察函数y=√(a²-x²+1)的图象,实际上就是圆x²+y²=a²+1的上半部分,那么此定积分就是从0到a这一段图象与x=a、y轴、x轴之间的半弓形区域的面积.可以把这个面积拆开成为一个扇形和三角形,先计算x=a与图象的交点得到A(a,1),用直线OA划分图形,显然△面积为a/2；
再记OA与x轴夹角θ,OA与y轴夹角φ,显然cotφ=tanθ=1/a.所以待求扇形圆心角φ=arctan(a)（单位为弧度）
所以得到扇形面积为：(a²+1)[arctan(a)]/2
所以定积分的结果为：(a/2)+(a²+1)[arctan(a)]/2
所以最后结果为：2π[a+(a²+1)arctan(a)]