1.已知倾斜角为45度的直线过椭圆(x^2)/2+y^2=1的右焦点交椭圆于A、B两点,求弦长

题目

1.已知倾斜角为45度的直线过椭圆(x^2)/2+y^2=1的右焦点交椭圆于A、B两点,求弦长

答案

该弦所在的直线的斜率为 k=tan45°=1,
过椭圆的右焦点 (1,0),
则直线方程为 y-0=k(x-1)
即 y=x-1.
把直线方程代入椭圆方程中,得
x²/2+(x-1)²=1
即 3x²-4x=0
可解得 x(1)=0,x(2)=4/3
此二根是A、B点的横坐标,
A、B的纵坐标分别为
y(1)=x(1)-1=-1,y(2)=x(2)-1=1/3
可见,所求弦长为
|AB|=√{[x(2)-x(1)]²+[y(2)-y(1)]²}
=√[(4/3)²+(4/3)²]
=(4/3)√2