若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为_.
题目
若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
答案
由题意可得:不等式x
2+2xy≤m(2x
2+y
2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x
2-2xy+my
2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)
()2-2
•+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
,则有t>0,
所以(2m-1)t
2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t
2-2t+m,(t>0),
①m=
时,显然不符合题意,故舍去.
②当m
≠时,函数的对称轴为t
0=
,
所以由题意可得:
,解得m≥1.
故答案为1.
由题意可得:原不等式恒成立转化为不等式(2m-1)x
2-2xy+my
2≥0对于一切正数x,y恒成立,即不等式(2m-1)
()2-2
•+m≥0对于一切正数x,y恒成立,然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可.
函数恒成立问题.
本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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