已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个定点为A(0,-1)若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3
题目
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个定点为A(0,-1)若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3
(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交与两点M,N.当丨AM丨=丨AN丨时,求m的取值范围.
答案
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1)若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交与两点M,N.当丨AM丨=丨AN丨时,求m的取值范围.
(1)根据题意b=1
右焦点(c,0)
|c+2√2|/√2=3
c+2√2=3√2
c=√2
a²=b²+c²=3
椭圆方程:x²/3+y²=1
(2)设M(x1,y1)N(x2,y2)
因为丨AM丨=丨AN丨
所以丨AM丨²=丨AN丨²
x1²+(y1+1)²=x2²+(y2+1)²
化简:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)+2(y1-y2)=0
(x1+x2)+(y1+y2)*(y1-y2)/(x1-x2)+2(y1-y2)/(x1-x2)=0
将直线y=kx+m代入椭圆方程x²/3+y²=1
整理:(3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0
韦达定理:x1+x2=-6km/(3k²+1)
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m/(3k²+1)
所以
-6km/(3k²+1)+2m/(3k²+1)*k+2k=0
-4km+6k^3+2k=0
k不等于0
所以k²=(2m+1)/3
k²>0
(2m+1)/3>0
2m+1>0
2m>-1
m>-1/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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