已知f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
题目
已知f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
答案
根据题意,由f(3)=1,
得f(9)=f(3)+f(3)=2.
又f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)],
故f[x(x-8)]≤f(9).
∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,
∴
解得8<x≤9.
∴原不等式的解集为{x|8<x≤9}.
先根据f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,通过取特殊值求出f(9)=2,将f(x)+f(x-8)≤2,化成f[x(x-8)]≤f(9).依据函数y=f(x)在R上单调性化掉符号:“f”,将问题转化为关于x的整式不等式,即可求得x的取值范围.
函数单调性的性质;抽象函数及其应用.
本小题主要考查函数单调性的应用、抽象函数及其应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
举一反三
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