平方和公式1^2+2^2+~+n^2如何证明?
题目
平方和公式1^2+2^2+~+n^2如何证明?
数学归纳法的方法就不要用了,我想知道直接证明怎么证
答案
求证1²+2²+3²+.+n²==n(n+1)(2n+1)/6
证明:∵(k+1)³=k³+3k²+3k+1
==>k²=[(k+1)³-k³]/3-k-1/3
∴1²=(2³-1³)/3-1-1/3
2²=(3³-2³)/3-2-1/3
3²=(4³-3³)/3-3-1/3
.
n²=[(n+1)³-n³]/3-n-1/3
故1²+2²+3²+.+n²
={[(2³-1³)/3-1-1/3]+[(3³-2³)/3-2-1/3]+[(4³-3³)/3-3-1/3]+.+[[(n+1)³-n³]/3-n-1/3]}
=[(n+1)³-1³]/3-(1+2+3+.+n)-n/3
=n(n²+3n+3)/3-n(n+1)/2-n/3
=n[2(n²+3n+3)-3(n+1)-2]/6
=n(2n²+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6.证毕.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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