已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长. (1)求证:数列{an}是等差数
题目
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.
答案
(1)圆C
1:x
2+y
2-2a
nx+2a
n+1y-1=0转化为:
(x-an)2+(y+an+1)2=
an2+an+12+1,
圆心坐标为:(a
n,a
n+1),半径为:
,
圆C
2,(x+1)
2+(y+1)
2=4,圆心坐标为:(-1,-1),半径为2,
圆C
1与圆C
2交于A,B两点且这两点平分圆C
2的周长.
则:
|C1C2|2+r22=r12,
即:
(an+1)2+(an+1-1)2+4=
an2+an+12+1,
求得:
an+1-an=(常数),
所以:数列{a
n}是等差数列,
(2)由于a
1=-3,
根据(1)的结论求得:
an=n-,
r=
=
,
当n=2时,r最小,所得的圆的方程为:x
2+y
2+x+4y-1=0.
(1)首先把圆的一般式转化为标准式,进一步利用特殊位置关系求出关系式,最后求的结论.
(2)利用二次函数的最值问题求得圆的方程.
圆的一般方程;等差数列的通项公式.
本题考查的知识要点:圆的一般式与顶点式的转化,等差数列定义的应用,二次函数最小值问题的应用.属于中等题型.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点