设（A,≤）是偏序集,定义函数f:A→P(A) 如下：

题目

设（A,≤）是偏序集,定义函数f:A→P(A) 如下：
对于任意 a ∈A,
f(a)={x|x∈A,x≤a}
证明f是单射,且当 a≤b时
有f(a)蕴含于f(b)

答案

证明 设a,b∈A,f(a)=f(b),由a≤a可知a∈f(a),故得a∈f(b),a≤b,同理b≤a,由于≤是偏序关系,于是得a=b,故f是单射.
对任意x∈f(a)得x≤a,由a≤b可得x≤b,于是x∈f(b),故f(a)包含于f(b).证毕.
注:包含于较蕴含于更恰当