已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）

题目

已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）
若5cos（θ-φ）=3*根号（5cosφ）,0＜φ＜π/2,求cosφ的值.

答案

解:∵向量a与向量b垂直,∴a*b＝sinθ－2cosθ＝0,即sinθ=2cosθ
∵（sinθ）^2+(cosθ)^2=1
∴(2cosθ)^2+(cosθ)^2=1,即(cosθ)^2=1/5
∵θ∈(0,π/2)
∴cosθ=√5/5,sinθ=2cosθ=2√5/5
∵5cos（θ-φ）=3√5cosφ,即5cosθcosφ+5sinθsinφ=3√5cosφ
∴√5cosφ+2√5sinφ=3√5cosφ,即sinφ=cosφ
∴tanφ=1
∵0＜φ＜π/2,∴φ=π/4
∴cosφ=cos（π/4）=√2/2