如图,一次函数y=-x+2的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P、Q分别从A、B同时出发,以相等的速度做直线运动.已知点P沿射线AO运动,点Q沿线段OB的延长线运动,PQ与AB所在的直线相交于点D

题目

如图,一次函数y=-x+2的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P、Q分别从A、B同时出发,以相等的速度做直线运动.已知点P沿射线AO运动,点Q沿线段OB的延长线运动,PQ与AB所在的直线相交于点D.
（1）当AP=1时,请验证D点是否是线段AB的中点.
（2）若AP=x,△PBQ的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
（3）过P作PE⊥AB于E,有人认为当点P、Q运动时,线段DE的长度始终保持不变.你认为正确吗?请说明理由.

答案

y=-x+2的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B
则A(2,0) B(0,2)
(1) 当AP=1时 QB=1
则P(1,0) Q(0,3) 斜率k1=(3-0)/(0-1)=-3
PQ的直线方程为y=(-3)(x-1)=-3x+3
与y=-x+2
联立解得x=1/2 y=3/2
即D(1/2,3/2)
而AB的中点坐标为(1,1),所以D点不是线段AB的中点.
(2) 若AP=x,△PBQ的面积为y,则y=(1/2)*x*(2-x)=x-x^2/2
(3) 正确
过P做PF⊥PA交AB于F
∵△OAB是等腰直角三角形
∴∠PAF=45°
∴△PAF是等腰直角三角形
∴PF=PA=BQ
∵PE⊥AB
∴EF=EA (1)
∵PF=QB PFIIQB
∴△PFD≌△QBD
∴BD=DF (2)
∴DE=(1/2)AB=√2
故线段DE的长度始终保持不变.