已知向量m=(cosx,sinx),n=(2√2+sinx,2√2-cosx),函数fx=m向量*n向量,x∈R
题目
已知向量m=(cosx,sinx),n=(2√2+sinx,2√2-cosx),函数fx=m向量*n向量,x∈R
1.求函数fx的最大值 2.若x∈(-3π/2,-π),且fx=1,求cos(x+5π/12)的值
答案
f(x)=cosx(2√2+sinx)+sinx(2√2-cosx)
=2√2(cosx+sinx)
=4(sinπ/4cosx+cosπ/4sinx)
=4sin(x+π/4)
所以当x=π/4+2kπ时,f(x)有最大值4
当f(x)=1时,
sin(x+π/4)=1/4
sin(x+π/4+π/2)=sin(x+3π/4)=cos(x+π/4)
因为x∈(-3π/2,-π),所以x+π/4∈(-5π/4,-3π/4),
cos(x+π/4)0,
所以sin(x+3π/4)=cos(x+π/4)=-√1-sin^2(x+π/4)=-√15/4,cos(x+3π/4)=1/4
cos(x+5π/12)=cos((x+3π/4)-π/3)
=cos(x+3π/4)/2+√3sin(x+3π/4)/2
=1/8-√45/8
=(1-3√5)/8
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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