已知向量m=(sinx,3sinx),n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=m•n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(

已知向量m=(sinx,3sinx),n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=m•n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(

题目
已知向量
m
=(sinx,
3
sinx),
n
=(sinx,-cosx),设函数f(x)=
m
n

(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-
π
6
)=1,b+c=7,△ABC的面积为2
3
,求边a的长.
答案
(1)由题意得f(x)=sin2x-
3
sinxcosx=
1-cos2x
2
-
3
2
sin2x=
1
2
-sin(2x+
π
6
),
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
2
,k∈Z,
解得:kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z
(2)由f(A)+sin(2A-
π
6
)=1得:
1
2
-sin(2A+
π
6
)+sin(2A-
π
6
)=1,
化简得:cos2A=-
1
2

又因为0<A<
π
2
,解得:A=
π
3

由题意知:S△ABC=
1
2
bcsinA=2
3
,解得bc=8,
又b+c=7,所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)=49-2×8×(1+
1
2
)=25,
∴a=5
(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理,进而根据正弦函数的性质确定函数的单调增区间.
(2)根据(1)中函数的解析式,根据f(A)+sin(2A-
π
6
)=1,求得A,根据三角形面积公式求得bc的值,利用余弦定理求得a.

三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.

本题只要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象与性质,余弦定理的应用.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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