设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），若g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数 （1）求b，c的值； （2）求g（x）的单调区间．

题目

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），若g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数
（1）求b，c的值；
（2）求g（x）的单调区间．

答案

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-

2

或x＞

2

，
当g'（x）＜0时，-

2

＜x＜

2

，
由此可知，（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-

2

，

2

）是函数g（x）的单调递减区间；

（1）根据g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x²+2bx+c能够求出b与c的值．
（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间