如果A^2+B^2+C^2=1,且abc为实数,试证-1/2小于等于ab+bc+ac小于等于1

题目

如果A^2+B^2+C^2=1,且abc为实数,试证-1/2小于等于ab+bc+ac小于等于1

答案

因为(a+b+c)^2>=0
a^2+b^2+c^2+2(ab+ba+ca)>=0
则1+2(ab+ba+ca)>=0
所以ab+ba+ca>=-1/2
a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=1/2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)
=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
ab+bc+ca