设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye^[-(x+y)],x.>0,y>0;0其他} 求X与Y相关系数ρXY

题目

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye^[-(x+y)],x.>0,y>0;0其他} 求X与Y相关系数ρXY
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答案

EX=∫[0,+∞]xe^(-x)dx∫[0,+∞]ye^(-y)dy=1.
E(X^2)=∫[0,+∞]x^2e^(-x)dx∫[0,+∞]ye^(-y)dy=2.
EY=∫[0,+∞]e^(-x)dx∫[0,+∞]y^2e^(-y)dy=2.
E(Y^2)=∫[0,+∞]e^(-x)dx∫[0,+∞]y^3e^(-y)dy=6.
E(XY)=∫[0,+∞]xe^(-x)dx∫[0,+∞]y^2e^(-y)dy=2.
DX=E(X^2)-(EX)^2=1,DY=E(Y^2)-(EY)^2=2.
Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0,
ρXY=Cov(X,Y)/[√DX√DY]=0.
只要算出E(XY),E(X),E(Y)就可以知道Cov(X,Y)=0,ρXY=0.一开始没注意,都求出来了,不删了,都放着吧.
这个题也可以先求边缘密度fX(x),fY(y),因为
f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X,Y相互独立,所以ρXY=0.