写出赋范线性空间中点列{xn}n=1∞有界的定义,并说明,若在X上,xn→x0,则{xn}n=1∞有界

题目

写出赋范线性空间中点列{xn}n=1∞有界的定义,并说明,若在X上,xn→x0,则{xn}n=1∞有界
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答案

有界的定义,存在在正数M,使得对所有n
||xn||<=M
若xn依范数收敛于x0,即对ε=1,存在自然数N,当n>N时
||xn-x0||<ε=1
所以有 ||xn||=||xn-x0+x0||
<=||xn-x0||+||x0||<ε+||x0||=1+||x0||
对于n<=N时
同样有那N个（有限个） ||xn||中必有一个最大的K,
那么取M=max{K,1+||x0||}
则有对所有||xn||<=M
所以有界