三角方程 cos(3x)*tan(5X)=sin(7x)

题目

三角方程 cos(3x)*tan(5X)=sin(7x)
有什么好点的方法吗,
X=kπ或kπ/10+π/20)
x=kπ/2 或 π/20+kπ/10 x≠π/10+kπ/5 都明白,
最后kπ/10+π/20 也明白了,
但是 x=kπ/2为什么后面变成了X=kπ呢,这跟 x≠π/10+kπ/5有关吗,

答案

∵原方程等价于cos3xsin5x=sin7xcos5x(cos5x≠0)
而cos3xsin5x=[sin(3x+5x)-sin(3x-5x)]/2=(sin8x+sin2x)/2
sin7xcos5x=[sin(7x+5x)+sin(7x-5x)]/2=(sin12x+sin2x)/2
于是原方程等价于(sin8x+sin2x)/2=(sin12x+sin2x)/2(cos5x≠0)
即sin8x-sin12x=0(cos5x≠0)
又sin8x-sin12x=sin(10x-2x)-sin(10x+2x)=-2cos10xsin2x
故cos10xsin2x=0(cos5x≠0)
所以sin2x=0或cos10x=0,即2x=kπ或10x=π/2+kπ,所以x=kπ/2或π/20+kπ/10
考虑到cos5x≠0,所以5x≠π/2+kπ,所以x≠π/10+kπ/5
综上X=kπ或kπ/10+π/20
最后这一步要靠楼主自己理解的,楼主可以分别令k=0,1,2,3,...,对kπ/2,π/20+kπ/10,π/10+kπ/5的值列个表,对比一下就可以发现规律了
也可以这样想：
为了区别k,将x=kπ/2中的k用m表示,将π/20+kπ/10中的k用n表示
mπ/2≠π/10+kπ/5,5m≠1+2k,显然,m为偶数时是可以的,而当m为奇数时必有相应的k使5m=2k+1,所以m为偶数,x=mπ/2即x为π的整数倍
nπ/10+π/20≠π/10+kπ/5,2n+1≠2+4k,偶数不等于奇数,恒成立
综上得结果X=kπ或kπ/10+π/20