已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求(y+2)/(x+1)的取值范围.

题目

已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求(y+2)/(x+1)的取值范围.

答案

方法一:
令(y+2)/(x+1)=t,于是y=t(x+1)-2,代入已知等式,整理成关于x的一元二次方程,故方程判别式大于等于0.经整理,得t>=3/4,此即(y+2)/(x+1)的取值范围.
方法二:
k=(y+2)/(x+1)
所以k就是过点(-1,-2)的直线的斜率
x,y满足x^2+y^2=1
所以就是求过点(-1,-2)的直线和单位圆有公共点是斜率的取值范围
显然相切时有最值
y+2=kx+k
kx-y+k-2=0
相切责圆心到直线距离等于半径
所以|0-0+k-2|/√(k^2+1)=1
|k-2|=√(k^2+1)
k^2-4k+4=k^2+1
k=3/4
还有一条切线是x=-1,因为(0,0)到x=-1半径
此时k不存在,即无穷大
所以k>=3/4
(y+2)/(x+1)>=3/4