已知函数f(x)=-x^3+ax^2+1(a∈R)
题目
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+1(a∈R)
(1)函数y=f(x)在区间(0,2/3)上递增,在x>=2/3上递减,求a的值
在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x^4-5x^3+(2-m)x^2+1(m∈R)的图像与函数y=f(x)的图像有三个交点,若存在,求出m,若不存在,说明理由
答案
f(x) )=-x^3+ax^2+1
f'(x) = -3x^2 + 2ax =0
x(-3x+2a)=0
x=0 or x= 2a/3
函数y=f(x)在区间(0,2/3)上递增,在x>=2/3上递减
=> 2a/3 = 2/3
a = 1
g(x)= x^4-5x^3+(2-m)x^2+1
f(x) = -x^3+x^2+1 ( a=1)
g(x) = f(x)
x^4-5x^3+(2-m)x^2+1 = -x^3+x^2+1
x^4-4x^3+ (1-m)x^2 = 0
x^2(x^2-4x+(1-m)) = 0
△ of x^2-4x+(1-m) =0
△≥0
=> 16 - 4(1-m)≥0
12+4m≥0
m≥ -3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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