已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0.
题目
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.
(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0.
答案
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得
f′(x)=+lnx−1=lnx+,…(2分)
∴xf′(x)=xlnx+1,
题设xf′(x)≤x
2+ax+1等价于lnx-x≤a,
令g(x)=lnx-x,则g′(x)=
−1.…(4分)
当0<x<1时,g′(x)>0;当x≥1时,g′(x)≤0,
∴x=1是g(x)的最大值点,
∴g(x)≤g(1)=-1.…(6分)
综上,a的取值范围是[-1,+∞).…(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=-1,即lnx-x+1≤0;
当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)≤0;…(10分)
当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x(lnx+
-1)≥0
所以(x-1)f(x)≥0…(13分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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