已知椭圆C中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y=3/2x与椭圆C在第一象限内的交点是M点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C另一个焦点是F1,且mf1*mf2=9/4（Ⅰ）求椭圆C的方程

题目

已知椭圆C中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y=3/2x与椭圆C在第一象限内的交点是M点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C另一个焦点是F1,且mf1*mf2=9/4（Ⅰ）求椭圆C的方程
(2)直线L过点（-1,0）,且与椭圆C交于PQ两点,求三角形F2PQ的内切圆的面积的最大值.

答案

(1)直线y=3/2x①与椭圆C在第一象限内的交点是M点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2知焦点在X轴上且M点坐标(c,3c/2).F1(-c,0),F2(c,0).
则MF1*MF2=(0,3c/2)*(2c,3c/2)=9c/4=9/4,c=1.
设椭圆C方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0).②
①代入②得b^2/a=3c/2,另由c=1 可得a=2,b=√3.
椭圆C方程为X^2/4+y^2/3=1.③
(2) 直线L过(-1,0),与X轴垂直时△F2PQ的内切圆的面积最大.
其半径r=3/4,其面积S=9π/16.