已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的取值范围为_.

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的取值范围为_.

题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的取值范围为______.
答案
因为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,
所以F点到P点与A点的距离相等;
因为|FA|=
a2
c
−c
=
b2
c
,|PF|∈[a-c,a+c],
所以
b2
c
∈[a-c,a+c],
可得ac-c2≤b2≤ac+c2
即ac-c2≤a2-c2≤ac+c2
解得
c
a
≤1
c
a
≤−1或
c
a
1
2

1
2
≤e<1

所以椭圆的离心率的取值范围为[
1
2
,1)

故答案为:[
1
2
,1)
首先根据点F在AP的垂直平分线上,可得|PF|=|FA|;然后求出|FA|=
b2
c
,|PF|∈[a-c,a+c],所以
b2
c
∈[a-c,a+c],从而求出椭圆的离心率的取值范围即可.

椭圆的简单性质.

本题主要考查了椭圆的基本性质的运用,属于基础题,解答此题的关键是根据题意,判断出|PF|=|FA|.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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