椭圆x2/a2+y2/b2=1的右焦点F,其右准线与x轴的交点A,在椭圆上存在点P满足AP的垂直平分线过F,求离心率
题目
椭圆x2/a2+y2/b2=1的右焦点F,其右准线与x轴的交点A,在椭圆上存在点P满足AP的垂直平分线过F,求离心率
只求离心率
答案
是不是求离心率的范畴?
由已知|PF|=|AF|=a^/c -c=b^2/c
令P(x0,y0)
则-a≤x0≤a ...①
过P作PH垂直右准线于H
那么|PH|=a^2/c - x0
根据椭圆离心率定义
e=|PF|/|PH| =(b^2/c)/(a^2/c - x0)
整理得:a(ac-b^2)/c^2 =x0
由①知-a≤a(ac-b^2)/c^2≤a ,且a^2=b^2+c^2(a>0)
解得e∈[1/2 ,1)
参考:
设P(acosθ,bsinθ)
在椭圆上存在一点P 满足线段AP的垂直平分线过F,则
PF=AF=a^2/c-c
PF=根号((acosθ-c)^2+(bsinθ)^2)
e=a/c
a^2=b^2+c^2
联合解得
cosθ=(e^2+e-1)/e^2
而-1≤cosθ≤1
所以1/2≤e≤1
因a>b>0
所以1/2≤e
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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