已知半径为r的球的体积为v=4/3πr^3,利用导数的定义证明球的表面积为s=4πr^2

题目

已知半径为r的球的体积为v=4/3πr^3,利用导数的定义证明球的表面积为s=4πr^2

答案

ΔV=f(r+Δr)-f(r)=4/3π(r+Δr^)-3,4/3πr^3=4/3π[(r+Δr)^3-r^3]=4/3π(3r^2*Δr+3r*Δr^2+Δr^3)
s=limΔV/Δr=4/3π(3r^2+3r*Δr+Δr^2)=4πr^2
Δr->0
证毕