关于x的一元二次方程x²-（k+2）x＋12=0和2x²-（3k+1）x+30=0有一个公共根.则K的值为多少.有步

题目

关于x的一元二次方程x²-（k+2）x＋12=0和2x²-（3k+1）x+30=0有一个公共根.则K的值为多少.有步

答案

设x=t是公共根,则t²-（k+2）t＋12=0,2t²-（3k+1）t+30=0
t²-（k+2）t＋12=0,则t²=(k+2)t-12 ,代入2t²-（3k+1）t+30=0,得
2[(k+2)t-12]-（3k+1）t+30=0
2(k+2)t-24-(3k+1)t+30=0
(3-k)t=-6
所以t=6/(k-3) ,代入t²-（k+2）t＋12=0,得
36/(k-3)²-(k+2)×6/(k-3) ＋12=0
两边乘以(k-3)²,得
36-6(k+2)(k-3)+12(k-3)²=0
36-6(k²-k-6)+12(k²-6k+9)=0
k²-11k+30=0
(k-5)(k-6)=0
所以 k=5或k=6
当k=5时,两个方程是x²-7x＋12=0和2x²-22x+30=0,此时有一个公共解x=3
当k=6 时,两个方程是x²-8x＋12=0和2x²-19x+30=0,此时有一个公共解x=2
所以 k=5 或 k=6