已知椭圆C=x^2+4y^2=4 (1)过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线,交椭圆于AB两点,求弦长AB
题目
已知椭圆C=x^2+4y^2=4 (1)过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线,交椭圆于AB两点,求弦长AB
(2)K为2的直线与椭圆C交AB两点,求线段AB中点M的轨迹方程
(3)过P(1,1/2)的弦恰好被P平分,求此弦所在的直线方程
答案
1、标准方程为:x^2/4+y^2=1,
a=2,b=1,c=√3,右焦点F2(√3,0),
直线方程为:y=x-√3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程,
x62+4(x-√3)^2=4,
5x^2-8√3x+8=0,
根据韦达定理,
x1+x2=8√3/5,
x1*x2=8/5,
根据弦长公式,|AB|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+1)[(8√3/5)^2-4*8/5]
=√[2*(192-160)/25]
=8/5,
∴AB弦长为8/5.
2、设M(x0,y0),
A(x1,y1),B(x2,y2),
根据中点公式,
x0=(x1+x2/2,y0=(y1+y2)/2,
x1^2/4+y1^2=1,(1)
x2^2/4+y2^2=1,(2)
(1)-(2)式,
1/4+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[y1+y2)/2/[x1+x2)/2]=0,
其中[(y1-y2)/(x1-x2)]=k=2,
1/4+k*y0/x0=0,(3)
y0/x0=-1/8,
用x,y替换x0,y0,
∴线段AB中点M的轨迹方程为:y=-x/8,是经过原点的直线.
3、由第二问(3)式,
1/4+k*(1/2)/1=0,
k=-1/2,
直线方程为:y-1/2=(-1/2)(x-1),
即 :y=-x/2+1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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