设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4． （1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4，求函数f（x）的单调区间； （2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞

题目

设a为实常数，函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

答案

（1）f′（x）=-3x2+2ax．根据题意f′（1）=tanπ4=1，∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x2+4x=-3x(x−43)．当f′（x）＞0，得x(x−43)＜0，即0＜x＜43；当f′（x）＜0，得x(x−43)＞0，即x＜0或x＞43．∴f′（x）的...