已知不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． （1）求a，b； （2）解不等式x−cax−b＞0（c为常数）．

题目

已知不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b；
（2）解不等式

x−c

ax−b

＞0（c为常数）．

答案

（1）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴a＞0，且1，b是ax²-3x+2=0的两个实数根．
∴

1+b＝ 3 a b＝ 2 a a＞0

，解得a=1，b=2．
（2）∵a=1，b=2．∴不等式

x−c

ax−b

＞0（c为常数）化为

x−c

x−2

＞0⇔（x-2）（x-c）＞0，
当c＞2时，不等式的解集为{x|x＞c或x＜2}；
当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c或x＞2}；
当c=2时，不等式化为（x-2）²＞0，∴不等式的解集为{x|x≠2}．

（1）由于不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，可得a＞0，且1，b是ax²-3x+2=0的两个实数根．再利用根与系数的关系即可得出．
（2）由于a=1，b=2．可知：不等式

x−c

ax−b

＞0（c为常数）化为

x−c

x−2

＞0⇔（x-2）（x-c）＞0，分类讨论：分为c＞2，c＜2，c=2即可得出．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系、分式不等式的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．