7．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y)=e的-（x+y) X>0,Y>0 0 其它 则P（X>2Y)=

题目

7．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y)=e的-（x+y) X>0,Y>0 0 其它 则P（X>2Y)=

答案

本题实际上是求随机向量(X,Y)位于第一象限x轴和直线y=x/2围成的区间内的概率,所以:P(X＞2Y)=∫(x=0→+∞)∫(y=0→x/2)e^(-x-y)dxdy=∫(x=0→+∞)dxe^(-x)∫(y=0→x/2)e^(-y)dy=∫(x=0→+∞)dxe^(-x)[1-e^(-x/2)]=∫(x=0→+∞)e^(-x)dx-∫(x=0→+∞)e^(-3x/2)dx =1-2/3 =1/3 (毕).