从椭圆上一点A看椭圆两焦点F1,F2的视角为直角,AF1的延长线交椭圆于B,且AB=AF2,求椭圆的离心率.

题目

从椭圆上一点A看椭圆两焦点F1,F2的视角为直角,AF1的延长线交椭圆于B,且AB=AF2,求椭圆的离心率.

答案

△BAF2为等腰直角三角形
|BF2|=√2|AF2|
|AB|+|BF2|+|AF2|=(2+√2)|AF2|=4a
2a=|AF1|+|AF2|=(1+√2/2)|AF2|
|AF1|=√2|AF2|/2
2c=√(|AF1|²+|AF2|²)=√6|AF2|/2
e=c/a=√3(√2-1)